скачать скачать

1 Вариант 
1. Около окружности, радиус которой равен 7, описан многоугольник, периметр которого равен 50. Найдите его площадь.

2. Вектор с концом в точке B (5; 4) имеет координаты (3; 1). Найдите сумму координат точки А.

3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

4. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 75 выступлений   – по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 30  выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

5. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 75% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефекта. Ответ округлите до сотых.

8. Функция определена и непрерывна на интервале На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

10. Первый насос наполняет бак за 12 минут, второй   – за 14 минут, а третий – за 1 час 24 минуты. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

14. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E  =  6EA. Точка T  — середина ребра B1C1. Известно, что AD  =  12, AA1  =  14. 

а)  Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро BB1 в отношении 4 : 3. 

б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1.

16. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на восемь лет в размере 400 тыс. руб. Условия его возврата таковы: —  каждый январь 2026, 2027, 2028, 2029 годов долг возрастает на q% по сравнению с концом предыдущего года; —  каждый январь 2030, 2031, 2032, 2033 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; —  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; —  в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года  —  к июлю 2033 года долг будет выплачен полностью. Найдите q и r, если известно, что сумма всех выплат после полного погашения кредита составит 650 тыс. руб., а общая сумма выплат за первые четыре года больше общей суммы выплат за последние четыре года на 140 тыс. руб.

17. В треугольнике ABC медианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке M. Известно, что AC  =  3MB. 

а)  Докажете, что треугольник ABC прямоугольный. 

б)  Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC  =  24.

18. Найдите все значения параметра a, при которых для любого действительного x выполнено неравенство

19. На острове живут 3 серых, 28 бурых и 29 малиновых хамелеонов. При встрече двух хамелеонов разных цветов оба меняют свой цвет на третий (серый и бурый оба становятся малиновыми и т. п.). 

а)  Может ли в некоторый момент времени на острове оказаться 15 серых, 28 бурых и 17 малиновых хамелеонов? 

б)  Может ли некоторый момент времени на острове оказаться 60 серых хамелеонов? 

в)  Какое наибольшее количество серых хамелеонов может оказаться на острове, при условии, что малиновых хамелеонов в этот момент времени ровно 2?

2 Вариант

1. В треугольнике ABC  AC = BC, AB = 8, высота AH равна 

2. Найдите синус угла BAC.

3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

4. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме «Логарифмы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Логарифмы».

5. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось ровно три броска? Ответ округлите до тысячных.

8. На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−2; 10). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

9. Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле (м), где м/с  – начальная скорость мячика, а g − ускорение свободного падения (считайте м/с ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?

10. Расстояние между городами A и B равно 550 км. Из города A в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 75 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.

16. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс»  – 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

17. Из вершины С прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена высота CH. 

а)  Докажите, что отношение площадей кругов, построенных на отрезках AH и BH соответственно как на диаметрах равно.

19. Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают. 

а)  Может ли в результате получиться 0? 

б)  Может ли в результате получиться 1? 

в)  Каково наименьшее возможное значение полученного результата?