ЕГЭ по математике (профиль) 11 класс 2026. Новый тренировочный вариант №22 (задания и ответы)

1. Окружность проходит через вершины A и B треугольника ABC и пересекает стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника CDE, если AB=14, DE=7, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 24.

3. Сфера вписана в цилиндр. Объем шара равен 42. Найдите объем части цилиндра, находящейся вне вписанной в него сферы (то есть объем пустого пространства между сферой и стенками цилиндра).э

4. За круглый стол на 21 стул в случайном порядке рассаживаются 19 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что между двумя девочками будет сидеть ровно один мальчик.

5. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Известно, что вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы одним стрелком, равна 0,96.Вероятность того, что оба стрелка попадут в мишень одновременно, равна 0,4. Найдите вероятность того, что в мишень попадет ровно один стрелок.

10. Человек спускается по идущему вниз эскалатору за 24 секунды. Если он будет идти по эскалатору в два раза быстрее, то спустится за 16 секунд. За сколько секунд человек спустится, если будет просто неподвижно стоять на эскалаторе?

17. В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC (AD > BC) вписана окружность с центром O. Из вершины C опущена высота CH. А) Докажите, что прямая AO является серединным перпендикуляром к отрезку BH. Б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если радиус вписанной в неё окружности равен 4, а длина отрезка, соединяющего точки касания вписанной окружности с боковыми сторонами, равна 64\15.

19. Изобретатель-самоучка Акакий Шестеренкин взял у сурового ростовщика Порфирия Кровопийцева кредит на S рублей на срок n месяцев. Условия Порфирия безжалостны: – каждый месяц долг Акакия возрастает на 50% по сравнению с концом предыдущего месяца; – после этого Акакий приносит платеж (строго в целых рублях, сдачи Порфирий не дает); – долг должен погашаться дифференцированно: каждый месяц после платежа остаток долга должен быть на одну и ту же величину n S меньше долга на конец предыдущего месяца. Известно, что ни в один из месяцев Акакию не пришлось делить рубли на копейки (все ежемесячные платежи — целые числа). Пусть M — общая сумма рублей, выплаченная за n месяцев. А) Могло ли оказаться так, что общая сумма выплат M ровно в 2 раза превысила размер займа S ? Б) Акакий подсчитал, что число M является простым. Возможно ли это при n 1 ? В) Найдите все возможные значения суммы займа S , если известно, что срок кредита n  2 , разность между первым и вторым платежом составила ровно 1 рубль, а общая сумма выплат M в точности равна квадрату некоторого простого числа.